Submit

20 Nov 2012

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

 

 

Dua buah vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangi. Ada beberapa cara penjumlahan dan pengurangan vektor.

 

1.      Cara Grafis

Cara ini menekankan pada cara menggambarnya. Yang termasuk dalam cara grafis adalah cara poligon, cara segitiga dan cara jajaran genjang.

 

a.      Cara Poligon

Berikut ini adalah langkah-langkah penjumlah vektor clip_image002 dengan cara poligon.

 
  clip_image003
 

 


                                                                                                                                                

           
    clip_image004
 
 

a

 
   

a

 
 
 

 

 

 


Ø  clip_image005gambarkan salah satu vektor yang kita pilih, misalnya vektor a

 

 

Ø 

a

 
Berikut menggambarkan vektor b dengan cara pangkal vektor b

clip_image006berada diujung vektor a

 

 

Ø 

b

 
Kemudian gambarkan vektor c dengan cara yang sama

 

 

Ø  clip_image007Gambarkan resultan vektor r yang merupakan jumlah dari  vektor a, b dan c  dengan cara menggambarkan vektor dari pangkal vektor a ke ujung vektor c, vektor resultan dinyatakan dengan besarnya atau penjang vektor resultan dan arahnya sesuai dengan hasil dari gambar yang didapat, seperti vektor berikut ini

a

 
                                      

 

b.      Cara Segitiga

Untuk cara segitiga, berlaku untuk tiap-tiap dua vektor. Semua pangkal vektor-vektor yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan vektor resultan dengan menghubungkan kedua ujung vektor tersebut.

       
  clip_image008
    clip_image009
 
 

 


                      clip_image011 

                      

 

clip_image012                        

           clip_image014

 

c.         Cara Jajaran Genjang

Untuk cara jajaran genjang, semua pangkal vektor-vektor yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan vektor bayangan masing-masing vektor. Selanjutnya gambarlah vektor resultan dari titik tangkap ke perpotongan vektor bayangan. Perhatikan contoh penjumlahan vektor secara jajaran genjang berikut ini.

       
  clip_image008[1]
    clip_image015
 
 

 


b

 
                      clip_image011[1] 

                      

 
 

a

 
 


clip_image012[1]                        

           clip_image014[1]

Untuk vektor yang lebih dari dua; pertama kali tentukan a + b terlebih dahulu, kemudian ( a + b ) + c, perhatikan contoh berikut ini.

       
  clip_image016
    clip_image017
 
 


clip_image018clip_image019                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

           
   

b

 
  clip_image020
     

a

 
 
 
 

 


clip_image021

( a + b )+ c

 
clip_image022clip_image023clip_image024clip_image025                                                                                                                                                                                    

clip_image026clip_image027clip_image028

 a + b

 
                                                                                                                                                                                         

clip_image029

c

 

b

 
clip_image030clip_image029[1]                                                                                                                                      

 
  clip_image031
 


clip_image032                                                        

 

2. Cara analitis.

 

Masing-masing vektor diuraikan menjadi komponen-komponen vektor searah sumbu x dan sumbu y dari sistem koordinat Cartesius.

clip_image033

Vektor

a

v x = v cos a

v y = v sin a

v1

v2

v3

a1

a2

a3

v1 x = v cos a1

v2 x = v cos a2

v3 x = v cos a3

v1 y = v sin a1

v2 y = v sin a2

v3 y = v sin a3

 

åv x = ................

åv y = ................

 

Menurut Bresnick besar Resultan vektor dan arah ditentukan dengan :

VR  =clip_image035                  Arah resultan :             tg q = clip_image037

 
C. Vektor dalam Bidang Datar

 

Dengan mendefinisikan vektor satuan i dan j yang masing-masing searah sumbu X dan Y, untuk vektor dua dimensi akan berlaku  r = x i + y j . Misalnya  posisi titik A pada gambar 3 berikut ini.

®

 

®

 

®

 

®

 

®

 

®

 
Hal yang sama ditunjukkan pada gambar 4 dengan mendefinisikan tiga vektor i,   j,   k,   yang masing-masing sejajar dengan sumbu X. Y dan Z diperoleh  r = x i + y j + z k.

Koordinat titik P(x, y, z) sebagai vektor tiga dimensi.                      

 
  clip_image038
 

 

 

 

 

 

 


 j                                                                  

 

 

 

 

   Gambar 3. Vektor Dua dimensi                                                          Gambar 4. Vektor Tiga Dimensi

 

 

1.      Resultan Vektor-vektor dalam Bidang Datar  2 Dimensi (x,y)

 a. Segaris 

 

       clip_image040                        clip_image042                                                   clip_image044

clip_image045clip_image046clip_image047clip_image046[1]clip_image047[1]                                                             

                                                                                                               clip_image040[1]                   clip_image042[1]                                              

clip_image048clip_image049clip_image050                                                                                                                                                   clip_image052

clip_image053clip_image054            clip_image040[2]                       -clip_image042[2]                                                     -clip_image042[3]      

clip_image056                                                                                                                 clip_image040[3]                 

                                                                                

                

 

b.Vektor yang membentuk sudut

clip_image059

Besar resultan vektor a dan b dirumuskan:

a2 + b2 + 2ab.cos a

 
 clip_image061 =  clip_image063

clip_image065clip_image067 = sudut apit antara vektor a dan b

Batas besar resultan yang mungkin antara vektor a dan b adalah:

 | a - b |   < r < a + b

 

 

 

 

 
Arah vektor terhadap vektor maupun vektor dapat ditentukan dengan rumus sinus sebagai berikut:   clip_image069 = clip_image071 = clip_image073

 

c. Pengurangan Vektor

clip_image075Selisih antara vektor a dan b, besarnya dirumuskan:

a2 + b2 – 2ab.cos a

 
r = clip_image063[1]                                                                                                                                                  

a = sudut apit antara vektor a dan b

 

 

 

                                          

2.      Menguraikan vektor menjadi komponen-komponen menurut sb. X dan sb. Y dalam satu bidang

 

clip_image076Suatu vektor clip_image078 dapat diuraikan menjadi vektor clip_image080 dan clip_image082 dimana masing-masing menyatakan vektor komponen dalam arah sb. X dan sb. Y. Besarnya vektor komponen clip_image080[1] dan clip_image082[1] adalah : clip_image084 =   clip_image086cos a dan  clip_image088 = clip_image086[1]sin a

 

clip_image091 =clip_image093 

 

a = sudut apit antara v dan sumbu X positif

 

 

Apabila yang membentuk sudut terhadap sumbu X lebih dari satu vektor maka:

clip_image091[1] =  clip_image096

 

Contoh soal:

1.      Dua buah vektor F1 = 5 N, F2 = 12 N membentuk sudut q = 600, maka tentukan resultan dari  F1 + F2

 Jawab :

F12 + F22 + 2F1F2.cos q

 
 R =  clip_image098

 R = clip_image100 

 R  = clip_image102 = clip_image104 = 15,94

 
  clip_image105
 


2.            Tentukan besar komponen gaya sumbu X dan Y

Jawab

Fx = F cos q = 60 cos 60° = 60 x 0,5 = 30 N

Fy = F sin q  = 60 sin 60°  = 60 x 0,5clip_image107= 30clip_image107[1] N

 

 

3.      Tentukan besar dan arah vektor yang memiliki komponen-komponen sebagai berikut :

a.          Ax = 3 cm, Ay = 4 cm

b.            Fx = -3 N, Fy = clip_image107[2] N

 

 

Jawab:

a.                  

Ax2 + Ay2

 

 
A         =  clip_image109  =  clip_image111   =  5

                                     tg q     =  clip_image113 =  clip_image115 (kuadran I)            ®          q  =  530

 

b.                 

Fx2 + Fy2

 
      F    =  clip_image117  =clip_image119   =  clip_image121

 

                                     tg q     =  clip_image123 = clip_image125 (kuadrat II)           ®         q =  1500

 

clip_image1264.  Hitunglah resultan gaya pada gambar di samping secara analitis!

Mengetahui:    F1 = 40 N        F2 = 60 N        F3 = 30 N

Jawab:

Rx           =  F1 cos q° + F2 cos (120°) + F3 cos (240°)

            =  40 . 1 + 60 . - 0,5 + 30 . – 0,5

            =  40  - 30 – 15 = - 5

 

Ry        =  F1 sin q° + F2 sin (120°) + F3 sin (240°)

            =  40 . 0 + 60 . 0,5 + 30 . – 0,5

             =  0 + 30 – 15 = 15

Rx2 – Ry2

 
R =  clip_image128        = clip_image130 = clip_image132 = 15,81


Dengan memasukan alamat email dibawah ini, berarti anda akan dapat kiriman artikel terbaru dari SEMUA TENTANG SMA DAN EDUKASI.com di inbox anda:


0 komentar:

Poskan Komentar

 

Labels